Azar y probabilidad

dadosEl azar es el reino de la incertidumbre, sucesos que acontecen de forma fortuita sin ajustarse aparentemente a ninguna regla, ley u orden. Sin embargo la ciencia, en este caso a través de las matemáticas, también ha logrado conquistar en buena medida este desconcertante territorio mediante las leyes de la probabilidad; aunque se trata de un tipo de conocimiento diferente al que estamos habituados y que en muchas ocasiones contrasta con nuestra intuición.

Probabilidad y grandes números

La definición matemática de probabilidad es sencilla e intuitiva, de hecho hacemos uso de ella habitualmente, aunque apenas tengamos nociones en la materia. Podemos definir la probabilidad de ocurrencia de un suceso aleatorio como el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.

Probabilidad(suceso)  =  Nº Casos Favorables / Nº Casos Posibles

Así la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es ½, y la probabilidad de obtener un 6 (o cualquier otro número) al lanzar un dado es 1/6, ya que para la moneda sólo existen dos casos posibles (cara y cruz) y para el dado seis (cada una de las caras). A veces suele expresarse en tanto por ciento, correspondiendo un 50% y 16% respectivamente en los ejemplos mencionados. Cómo puede deducirse fácilmente, a un suceso imposible le corresponde una probabilidad 0 y a un suceso seguro un valor de 1 (o 0% y 100%).

Es importante tener presente que la fórmula anterior únicamente es válida si todos los casos posibles son equiprobables; es decir, si todos los sucesos tienen la misma oportunidad de producirse. Así por ejemplo, si el dado que usamos no es perfecto y está ligeramente “cargado” la probabilidad de obtener un seis ya no será 1/6, sino que será mayor o menor dependiendo de si el dado favorece o desfavorece la aparición del mencionado valor en detrimento de los otros.

El verdadero quid de la cuestión estriba en comprender el significado de que la probabilidad de obtener cara sea un 1/2 para el lanzamiento de moneda o 1/6 para el de dado. En el caso de la moneda parece indicar que en uno de cada dos lanzamientos obtendremos cara ¿Significa eso que aparecerán alternativamente caras y cruces? Está claro que no siempre ocurre. Y si obtenemos 4 caras consecutivas ¿La probabilidad del próximo resultado continúa siendo ½ o es más probable obtener una cruz? ¿El número de la lotería que resultó ganador el año pasado es menos probable que vuelva a ser premiado este año?

Continuando con el ejemplo de la moneda, la probabilidad de ½ para obtener cara (o cruz) indica que para un número elevado de lanzamientos aproximadamente la mitad de los resultados serán caras y la mitad cruces; es decir, la frecuencia relativa del resultado favorable (obtener cara) se aproximará mucho a ½ cuando el número de lanzamientos sea muy alto, es lo que se conoce como ley de los grandes números. Si obtenemos cuatro o diez caras consecutivas, no podremos saber nada con certeza acerca del resultado del próximo lanzamiento y la probabilidad de obtener cara continuará siendo ½, pero sabemos que si lanzamos 1000 veces la moneda aproximadamente 500 resultados serán caras. La probabilidad es un conocimiento aplicable a muchos sucesos no a uno concreto.

Calculando probabilidades

No siempre es sencillo calcular probabilidades, sobre todo cuando se trata de sucesos compuestos ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par con un dado?¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras consecutivas? Existen unas normas básicas que facilitan el cálculo:

  • Si la probabilidad de un suceso es p, la probabilidad contraria es 1-p. Así si la probabilidad de obtener un seis con el dado es 1/6, entonces la probabilidad de no obtenerlo, es decir de sacar uno de los cinco valores restantes, es 1-1/6. Existen ocasiones en las que es más sencillo calcular la probabilidad contraria a la que deseamos y restar posteriormente.
  • La probabilidad de que ocurra un suceso u otro si ambos no pueden suceder a la vez es la suma de sus probabilidades individuales. Así pues la probabilidad de obtener un número par con un dado es 1/6 (para el 2) + 1/6 (para el 4) + 1/6 (para el 6) = 3/6 (o 1/2).
  • La probabilidad de que ocurran dos sucesos independientes, es decir cuando el resultado de uno no influye en el resultado de otro, es el producto de ambos. Así pues la probabilidad de obtener dos caras consecutivas es 1/2*1/2 = 1/4.

En ocasiones ayuda representar el experimento mediante un árbol donde las hojas finales muestran todos los casos posibles. Cada posible suceso individual es un nodo y en las ramas intermedias se indica la probabilidad de obtener los mismos. La probabilidad de los sucesos compuestos representados en las hojas finales se obtiene multiplicando los valores de las ramas asociadas y la probabilidad de un suceso formado por varias ramas es la suma de la probabilidad de cada una de ellas.

Urna y 6 bolas

A modo de ejemplo imaginemos una urna en la que se han introducido 6 bolas, 2 de color blanco y 4 de color negro, de donde sacamos 2 de ellas al azar sin reemplazo; es decir, primero una y a continuación otra sin volver a introducir la primera ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas de distinto color?¿Y de sacar dos negras?

El árbol se iniciaría con dos ramas cuyas hojas representan los dos posibles valores del primer suceso, obtener una bola blanca u obtener una bola negra. En las ramas se indican las probabilidades de ambos sucesos, qué son de 2/6 y 4/6 respectivamente. A partir de cada una de las posibilidades se ofrecen nuevamente dos alternativas con la segunda extracción, obtener una bola blanca o una bola negra y por tanto se dibujan dos nuevas ramas para cada nodo indicándose de la misma forma las probabilidades individuales. Durante la segunda extracción el número de casos posibles se ha reducido a cinco al contener la urna una bola menos, sin embargo lo importante es percatarse de que los casos favorables dependen del primer suceso. Ahora estamos tratando con probabilidades dependientes y si la primera bola extraída es blanca, la probabilidad de obtener una segunda bola blanca será de 1/5, mientras que si la primera bola hubiese sido de color negro, la probabilidad de extraer una segunda blanca sería 2/5. El árbol completo para el experimento propuesto queda como se muestra a continuación donde no se han simplificado las fracciones para facilitar su compresión.

Observando el gráfico ya se pueden sacar conclusiones. Los cuatro posibles resultados de la experiencia se muestran en las hojas finales y sus probabilidades se obtienen multiplicando los valores de los tramos cada rama. Así la probabilidad de obtener dos bolas blancas es 2/6 * 1/5 = 2/30; es decir, una de cada quince para muchas repeticiones del experimento. Resumiendo, las probabilidades para blanca-blanca, blanca-negra, negra-blanca y negra-negra son 2/30, 8/30, 8/30 y 12/30 respectivamente. ¿Y la probabilidad de obtener dos bolas de distinto color? Dicho evento está compuesto de los sucesos individuales blanca-negra y negra-blanca, por tanto deben sumarse ambas probabilidades obtenidas: 8/30 + 8/30 = 16/30. Igualmente la probabilidad de sacar dos bolas de idéntico color sería 2/30 + 12/30 = 14/30. Nótese que este último valor bien podría haberse obtenido haciendo uso de la propiedad contraria: 1 – 16/30 = 14/30.

Estadística

Siempre existe una forma alternativa de obtener probabilidades, y es mediante recuento estadístico al repetir muchas veces el suceso objeto de estudio. Imaginemos que lanzamos una moneda al aire cientos de veces y anotamos cuidadosamente los resultados, calculando la frecuencia relativa asociada. A partir de los datos puede deducirse de que la probabilidad de obtener cara se aproxima a ½ conforme aumentan el número de tiradas.

Existen medidas de probabilidad, que por su naturaleza, sólo pueden ser obtenidas de esta manera. La eficacia de medicamentos, la seguridad de los medios de transporte o el acierto en las previsiones meteorológicas son algunos ejemplos de este tipo. Así pues estadística y probabilidad están íntimamente ligadas y las aplicaciones de ambas van desde estudios sociales y de población hasta el análisis de los resultados obtenidos en experimentos científicos.

Hoy día, gracias a las simulaciones por ordenador, es posible repetir ciertas experiencias miles de veces de forma sencilla para calcular las probabilidades asociadas. En ambientes didácticos suele ser habitual generar tablas donde se muestran las frecuencias relativas obtenidas con diferentes números de experimentos y compararlas con el resultado teórico. Siguiendo con el ejemplo de las bolas mencionado con anterioridad se ha creado un pequeño programa que simula la experiencia. A continuación se muestra la tabla con los resultados obtenidos al repetirla 10, 100, 1000 y 10.000 veces.

Bolas / Probabilidad Teórica 10 100 1000 10.000
blanca-blanca 0.06 0.1 0.09 0.06 0.06
blanca-negra 0.26 0.2 0.26 0.28 0.26
negra-blanca 0.26 0.2 0.26 0.27 0.26
negra-negra 0.4 0.5 0.39 0.39 0.4

 

 

 

 

Referencias

Fernando Corbalán y Gerardo Sanz: La conquista del azar
Pere Grima: La certeza absoluta y otras ficciones (capítulo 2)
Investigación y Ciencia: ¿Qué es la probabilidad? (número 417)

Enlaces

Probabilidad (apuntes y ejercicios)

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