Paradoja del cumpleaños

¿Cuántas personas hacen falta reunir para asegurar que al menos dos de ellas coincidan en su cumpleaños? (suponiendo años de 365 días). La respuesta es sencilla: 366. En el peor de los casos cada persona habrá nacido en una fecha distinta, lo que suman 365 individuos; el siguiente necesariamente habrá de coincidir con algún otro. Pero, ¿Cuántas hacen falta para que la probabilidad de coincidencia sea mayor del 50%? La inesperada respuesta es 23. Esta solución suele sorprender ya que, en la mayoría de los casos, a juicio de nuestra intuición el número debería ser mucho más alto.

La explicación de este valor tan aparentemente bajo estriba en que cualquier pareja es suficiente para cumplir la condición deseada. Si tratásemos de encontrar a alguien con nuestro mismo día/mes de nacimiento; es decir una coincidencia con una persona en concreto, necesitaríamos un grupo mucho más numeroso para probabilidades altas de acierto. Pero al buscar simplemente dos personas cualesquiera cuyos cumpleaños coincidan, las probabilidades de éxito aumentan rápidamente. Con 40 personas las probabilidades de coincidencia son casi del 90% y con 57 ¡del 99%!

Esto quiere decir que en cualquier grupo de aproximadamente 60 personas que podamos formar (una clase, amigos de facebook, empleados de una empresa, equipos deportivos) es casi seguro que encontraremos al menos dos individuos que celebran su cumpleaños el mismo día. Si los grupos son de 23 personas, paradoja tratada, en la mitad de ellos probablemente exista coincidencia. Pere Grima, por ejemplo, en su libro revisa los 10 partidos de fútbol jugados en la primera jornada de 2010 (11 jugadores de cada equipo más el árbitro: 23 individuos) y en 5 de ellos encuentra coincidencias. Yo mismo puedo decir, que en mi empresa somos aproximadamente 30 trabajadores y, casualmente, dos compartimos cumpleaños (la casualidad está en que la coincidencia sea precisamente conmigo).

Para descubrir los valores mencionados basta hacer uso de los conceptos básicos de la teoría de probabilidades, y de hecho, sería más correcto hablar del problema del cumpleaños ya que no existe contradicción lógica ni matemática en el proceso. Al final del mismo obtenemos una fórmula que nos da la probabilidad de coincidencia del cumpleaños de dos o más personas en función de un número n de personas. Aquellos interesados en la demostración pueden acudir a alguna de las referencias indicadas.


Calculando los diferentes resultados para valores sucesivos de n podemos observar como aumenta la probabilidad conforme crece el grupo, siendo los valores más interesantes los ya mencionados. Dichos resultados suelen dibujarse sobre una gráfica donde puede apreciarse mejor el crecimiento de probabilidad.

Referencias

Pere Grima: La certeza absoluta y otras ficciones (capítulo 2)
gaussianos: La paradoja del cumpleaños
Microsiervos: El problema/paradoja del cumpleaños
Redes: programa número 125

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